∫
1
∞
x
e
−
x
2
d
x
\displaystyle \int_1^\infty xe^{-x^2} dx
∫
1
∞
x
e
−
x
2
d
x
is
−
1
e
-\dfrac{1}{e}
−
e
1
1
2
e
\dfrac{1}{2e}
2
e
1
2
e
\dfrac{2}{e}
e
2
divergent
Summary
Submit
Skip Question
Approach
Use
u
u
u
-substitution where
u
=
−
x
2
u=-x^2
u
=
−
x
2
. Keep the lower and upper limits with respect to
x
x
x
.
∫
1
∞
x
e
−
x
2
d
x
=
∫
1
∞
−
e
u
2
d
u
\int\limits_1^\infty xe^{-x^2} dx = \int\limits_{1}^\infty -\frac{e^u}{2} du
1
∫
∞
x
e
−
x
2
d
x
=
1
∫
∞
−
2
e
u
d
u
=
lim
b
→
∞
−
e
−
x
2
2
∣
1
b
= \lim\limits_{b\to\infty} -\frac{e^{-x^2}}{2} \Big|_{1}^b
=
b
→
∞
lim
−
2
e
−
x
2
∣
∣
1
b
=
lim
b
→
∞
−
1
2
[
1
e
b
2
−
1
e
]
= \lim\limits_{b\to\infty} -\frac{1}{2} \left[\frac{1}{e^{b^2}}-\frac{1}{e}\right]
=
b
→
∞
lim
−
2
1
[
e
b
2
1
−
e
1
]
=
1
2
e
= \boxed{\frac{1}{2e}}
=
2
e
1